Question

(理)如圖a所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，M為動點，且,= .過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁．又動點T滿足=+ ，其軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)已知點A(5，0)、B(1，0)，過點A作直線交曲線C于兩個不同的點P、Q，△BPQ的面積S是否存在最大值?若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

(文)如圖b所示，線段AB過x軸正半軸上一點M(m，0)(m＞0)，端點A，B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸、過A，O，B三點作拋物線．

(1)求拋物線方程；

(2)若tan∠AOB=-1，求m的取值范圍．

第21題圖

Answer 1

答案：(理)(1)設點T的坐標為(x，y)，點M的坐標為(x′，y′)，則M₁的坐標為(0，y′)．

∵,

∴點N的坐標為.

∴N₁的坐標為(),

∴=(x′,0),

∵，∴,

又∵，∴x′²+y′²=5．

∴x²+=5，即=1為曲線C的方程．

(2)點A(5，0)在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以直線l的斜率存在．又三點B、P、Q可構成三角形，

∴設直線l的方程為：x-my=5(m0)．

由方程組，得(4m²+5)y²+40my+80=0.

依題意△=320(m²-5)＞0，得m＞或m＜.

設點P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)．

點B到直線l的距離為d=

|PQ|=|y₁-y₂|=.

∴S_△BPQ=d·|PQ|

=

即S_△BPQ=.

下面考查函數t=.

∵

=16(m²-5)+200≥400，

當且僅當16(m²-5)=即m=±時等號成立，滿足條件m＞或m＜.

此時m＜t²≤，0＜t≤，0＜S_△BPQ≤.

∴△BPQ的面積S存在最大值為.

(文)(1)當AB不垂直于x軸時，設AB方程為y=k(x-m)，拋物線方程為y²=2px(p＞0)

由得ky²-2py-2pkm=0，

∴y₁y₂=-2pm，∴|y₁y₂|=2pm=2m

∴p=1．

當AB⊥x軸時，A，B分別為(m，)，(m，)，由題意有2pm=2m，P=1，故所求拋物線方程為y²=2x．

(2)設A(，y₁)，B(，y₂)

由(1)知y₁y₂=-2m，y₁+y₂=.

∴|y₁-y₂|=,

又tan∠AOB=-1，k₁=，k₂=，

∴,

即y₁y₂+4=2|y₁-y₂|，

∴-2m+4=                                                        ①

平方后化簡得m²-12m+4=

∴m²-12m+4＞0，∴m＜6或m＞6+

又由①知-2m+4＞0，∴m＜2，

∴m的取值范圍為0＜m＜6

當m=6且AB⊥x軸時，y₁=2(-1)，y₂=-2(-1)，y₁y₂=-4(-1)²=-2m．

tan∠AOB=-1符合條件，故符合條件的m的取值范圍為0＜m≤6.