已知函數
，
（
，
）．
（1）判斷曲線
在點（1，
）處的切線與曲線
的公共點個數；
（2）當
時，若函數
有兩個零點，求
的取值范圍．
（1）當△>
時，即
或
時，有兩個公共點；
當△=時，即
或
時，有一個公共點；
當△<時,即
時，沒有公共點 .
（2）當
時，函數有兩個零點.
解析試題分析：（1）求導數得切線的斜率，由直線方程的點斜式，得到曲線在點（1，）處的切線方程為
；
由
，利用一元二次方程根的判別式討論得解.
（2）為討論=
的零點，
令
得到
，
因此可令
，利用導數知識，討論起最大值、最小值即得所求.
試題解析：（1）
，所以斜率
2分
又
，曲線在點（1，）處的切線方程為 3分
由 4分
由△=
可知：
當△>時，即或時，有兩個公共點；
當△=時，即或時，有一個公共點；
當△<時,即時，沒有公共點 7分
（2）=，
由得 8分
令，則 
當，由
得
10分
所以，
在
上單調遞減，在
上單調遞增
因此，
11分
由
，
比較可知
所以，當時，函數有兩個零點. 14分
考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值，直線與圓錐曲線的位置關系，轉化與劃歸思想.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)當m＝
時，求函數f(x)在區間[1,3]上的極小值；
(2)求證：函數f(x)存在單調遞減區間[a，b]；
(3)是否存在實數m，使曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)=
x3-
x2+x+b,其中a,b∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數f(x)的解析式.
(2)當a>0時,討論函數f(x)的單調性.
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在
處的切線方程為
.
的解析式；
的方程
恰有兩個不同的實根，求實數
的值；
滿足
，
，求
的整數部分.
，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0.求a，b.
在點(1,0)處的切線．
是函數
（
）的兩個極值點
，求函數
的解析式；
，求
的最大值。