Question

設

a

=(x，1)，  

b

=(2，-1)，  

c

=(x-3，2)，其中x∈R．
（1）若

a

與

b

的夾角為鈍角，求x的取值范圍；
（2）解關于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|．

Answer 1

分析：（1）當

a

∥

b

時，求得 x=-2．設

a

與

b

的夾角為θ，則由題意可得 cosθ＜0，解得 x＜

1

2

．由此求得當

a

與

b

的夾角為鈍角時 x的取值范圍．
（2）先求出|

a

+

c

|和|

a

-

c

| 的解析式，不等式化為 （2x-3）²+9＜9+1，即|2x-3|＜1，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）當

a

∥

b

時，由

x

2

=

1

-1

，可得 x=-2． 
設

a

與

b

的夾角為θ，則由題意可得 cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2x-1

x2+1 • 5

＜0，解得 x＜

1

2

．
若

a

與

b

的夾角為鈍角，則有x＜

1

2

 且  x≠-2，即 x的取值范圍為{x|x＜

1

2

 且  x≠-2}．
（2）∵|

a

+

c

|=

(2x-3)2+9

，|

a

-

c

|=

32+1

，
故關于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|，即 （2x-3）²+9＜9+1，
∴（2x-3）²＜1，即|2x-3|＜1，即-1＜2x-3＜1，解得1＜x＜2，故不等式的解集為{x|1＜x＜2}．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應用，解絕對值不等式，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．