Question

設函數．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）在（2）的條件下，設函數，若對于[1，2]，

[0，1]，使成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），；（3）.

【解析】

試題分析：(1)將代入，分別得到，，再由點斜式得到在處的切線方程為；（2）將代入得到，從而得到遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），；（3）先將題設條件轉化為在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后討論的范圍，又在[1,2]上最小值為.由單調性及從而得到的取值范圍為.

試題解析：(1)函數的定義域為

，

當時，，，

，故.

所以在處的切線方程為.

(2) 當時，.

故當或時，；當時，.

所以函數的遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），.

(3)由（2）知，在（1,2）上為增函數，

所以在[1,2]上的最小值為，

若對于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.

又，

當時，在[0,1]上為增函數，與題設不符.

當時，，由及，得；

當時，在[0,1]上為減函數，及得.

綜上所述，的取值范圍為.

考點：1.導數；2.直線的方程；3.函數的單調性與最值.