Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關(guān)系；
（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）證明：對任意，都有成立。

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（3）見解析

（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴-------------------------------------3分
（2）由（1）得----------4分
∵函數(shù)的定義域為
∴當(dāng)時，在上恒成立，
由得，由得，
即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------5分
當(dāng)時，令得或，
若，即時，由得或，由得，
即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；---------6分
若，即時，由得或，由得，
即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；------------7分
若，即時，在上恒有，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增， -----------------8分
綜上得：當(dāng)時，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．
（3）證法一：由（2）知當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，------------11分
令，則，-------------------------------------12分

即--------14分
證法二：構(gòu)造數(shù)列，使其前項和，
則當(dāng)時，，-------11分
顯然也滿足該式，
故只需證-------------------12分
令，即證，記，
則，
在上單調(diào)遞增，故，
∴成立，

即． -14分