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已知函數f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相應x的值；
（2）對任意的正數x，恒有數學公式，求實數m的最大值．

解（1）g（x）=lnx-（x2-x）（2x-1）=lnx-2x3+3x2-x，
，
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當x＞1時，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，1]上是增函數，在[1，+∞）上是減函數，
所以，當x=1時，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2），即，
可化為①，
因為x＞0，所以（當x=1時取到等號），
設，①可化為t2-2-t≥tln（m2-2m-2），即當t≥2時恒成立，
令，
所以h（t）在[2，+∞）上是增函數，所以h（t）≥h（2）=0，于是ln（m2-2m-2）≤0，
解不等式0＜m2-2m-2≤1，解得，
所以m的最大值為3．
分析：（1）寫出g（x）表達式，求導數g′（x），在定義域內解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得g（x）的單調區間，由單調性可得其最大值，同時得相應x值；
（2）可化為，令，由①分離出m后轉化為求關于t的最小值，構造函數用導數可求其最小值，再解關于m的不等式即可；
點評：本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值及函數恒成立問題，轉化為函數最值問題是解決恒成立問題的常用方法，要注意掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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