Question

已知a＞1，若函數f(x)=

ax，-1＜x≤1 f(x-2)+a-1，1＜x≤3

，則f[f（x）]-a=0的根的個數最多有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：設t=f（x），則方程轉化為f（t）-a=0，即f（t）=a，然后根據函數的圖象確定x解的個數．

解答：解：設t=f（x），則方程轉化為f（t）-a=0，即f（t）=a，
當1＜x≤3時，-1＜x-2≤1，
∴此時f（x）=f（x-2）+a-1=a^x-2+a-1．
當-1＜x≤1時，

1

a

＜f(x)≤a，
當1＜x≤3時，

1

a

+a-1＜f(x)≤2a-1，．
∵a＞1，∴2a-1＞a.

1

a

+a-1≥2

1 a ?a

-1=2-1=1．
由圖象可知，∵f（t）=a＞1，∴當

1

a

+a-1＜t＜a時，t最多有兩個解．
其中t＜1，或1＜t＜3．
當t＜1時，函數t=f（x），只有一解x∈（-1，1），
當1＜t＜3．函數t=f（x），最多有2個解．
故f[f（x）]-a=0的根的個數最多有3個．
故選C．

點評：本題只有考查指數函數的圖象和性質，利用換元法將方程轉化為f（t）=a，然后利用圖象確定方程根的個數，綜合性較強，難度較大．