Question

（本題滿分15分）如圖，點為圓形紙片內不同于圓心的定點，動點在圓周上，將紙片折起，使點與點重合，設折痕交線段于點.現將圓形紙片放在平面直角坐標系中，設圓：,記點的軌跡為曲線.

⑴證明曲線是橢圓，并寫出當時該橢圓的標準方程；

⑵設直線過點和橢圓的上頂點，點關于直線的對稱點為點，若橢圓的離心率，求點的縱坐標的取值范圍.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（本題滿分15分）

解：（1）連結NA, 由題意知，直線m是線段MA的中垂線，

 

 

∴NA=NM, 而圓C的半徑為    ……………………2分

∴NC+NA=NC+NM=CM=(常數)

∴動點N到兩定點C, A的距離之和為常數，

所以，點N的軌跡是以定點C, A為焦點，長軸長為的橢圓  

……………………4分

當時，由于，所以所求橢圓E的方程為   

……………………6分

（2）橢圓E的方程為，其上頂點B

所以，直線的方程為，                  ……………………8分

記點關于直線的對稱點

則有，  解得：……………………11分；

由，得，                  ……………………12分

∴，令，因為 則，

∴，∴，                    ……………………14分

所以，點的縱坐標的取值范圍是      ……………………15分

【解析】略