Question

數列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又設b_n=a_n+1
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設cn=

n+1

an+1

（n∈N*），求數列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

（1）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴

bn+1

bn

=2，a₁+1=2
∴數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）∵b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1
（3）∵cn=

n+1

an+1

=

n+1

2n

．
∴S_n=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

∴

1

2

S_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

∴兩式相減可得：

1

2

S_n=

2

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．
∴S_n=3-

n+3

2n

．