Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點，若動點滿足

且點的軌跡與拋物線交于兩點.

   （1）求證：；

   （2）在軸上是否存在一點，使得過點的直線交拋物線于兩點，并以線段為直徑的圓都過原點。若存在，請求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2），得,即為所求圓心的軌跡方程。

【解析】解：（1）由知點的軌跡是過兩點的直線，         --------1分

故點的軌跡方程是：

，

即           --------3分

          --------5分

，故

                       --------7分

   （2）假設存在，使得過點的直線交拋物線于兩點，并以線段為直徑的圓都過原點。                                      --------8分

，由題意，直線的斜率不為零， 所以，可設直線的方程為，代入得

                  --------10分

即

同時，

       --------12分

則

又，解得，滿足式

   此時，以為直徑的圓都過原點，     

設弦的中點為

   消去得,即為所求圓心的軌跡方程。  --------14分