Question

已知函數y=sin（3x+）+1．
（1）求y取最大值和最小值時相應的x的值；
（2）求函數的單調遞增區間和單調遞減區間；
（3）它的圖象可以由正弦曲線經過怎樣的圖形變換所得出？

Answer 1

解：（1）由3x+=2kπ+，k∈z，可得x=kπ+（k∈Z）； 此時，y取最大值．
由3x+=2kπ-，k∈z，可得x=kπ-，（k∈Z），此時，y取最小值．
綜上，可得y取最大值時，相應的x的值為x=kπ+（k∈Z）；y取最小值時，相應的x的值為x=kπ-，k∈Z．
（2）由 2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函數單調遞增區間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）．
由 2kπ+≤3x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，
故函數單調遞減區間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（3）先將正弦曲線上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），得到y= sin3x 的圖象．
再將所得圖象向左平移個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變為原來的（橫坐標不變），
得到y=sin（3x+）的圖象．
最后將所得圖象向上平移一個單位，即可得到y=sin（3x+）+1的圖象．
分析：（1）由3x+=2kπ+，k∈z，和 3x+=2kπ-，k∈z，求得x的值，即為所求．
（2）由 2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即得函數的增區間；由2kπ+≤3x+≤2kπ+，
k∈z，求得x的范圍，即得函數的減區間．
（3）先將y=sinx上每一點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向左平移個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變為原來的，再把所得圖象向上平移一個單位，即可得到y=sin（3x+）+1的圖象．
點評：本題主要考查y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，求三角函數的單調區間和最值的方法，屬于中檔題．