Question

已知定義域為R的函數是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性并加以證明；
（僅理科做） （3）當t∈[-1，2]時，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為f（x）是奇函數，函數的定義域為R，所以f（0）==0，可得b=1，
∴，取f（-1）=-f（1）得=，解之得a=2
因此，，滿足=-=-f（x），符合題意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，=，設x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=-（）=
∵y=2^x在實數集上是增函數且函數值恒大于0，
∴-＞0，+1＞0且+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數
（3）∵f（x）是奇函數，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0?k＜-，即實數k的取值范圍是（-∞，-）．
分析：（1）利用特殊值：f（0）=0且f（-1）=-f（1），建立關于a、b的等式并解得a=2，b=1，再將其代入函數表達式加以檢驗即可；
（2）根據單調性的定義，設x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差，再通分整理，可得這個差是一個正數，從而得到f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數；
（3）根據函數的單調性和奇偶性，將原不等式恒成立轉化為關于t的一元二次不等式3t²-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法結合根的判別式，可求出k的取值范圍．
點評：本題給出一個含有指數式的分式形式的函數，叫我們討論它的單調性與奇偶性，著重考查了函數奇偶性與單調性的綜合應用，考查了一元二次不等式恒成立問題等知識，屬于中檔題．