Question

已知各項均為正數的數列的前項和為，數列的前項和為，且.

⑴證明：數列是等比數列，并寫出通項公式；

⑵若對恒成立，求的最小值；

⑶若成等差數列，求正整數的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析，；（2）3；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證數列是等比數列，可根據題設求出，當然也可再求，雖然得出的成等比數列，但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比，必須嚴格證明．一般方法是把已知式中的用代換得到，兩式相減得，這個式子中把用代換又得，兩式再相減，正好得出數列的前后項關系的遞推關系，正是等比數列的表現．（2）由題間，對不等式用分離參數法得，求的最小值就與求的最大值（也只要能是取值范圍）聯系起來了．（3）只能由成等差數列列出唯一的等式，這個等式是關于的二元方程，它屬于不定方程，有無數解，只是由于都是正整數，利用正整數的性質可得出具體的解．

試題解析：（1）當n=1時，；當n=2時，

當n3時，有 得：

化簡得：    3分

又    ∴

∴是1為首項，為公比的等比數列

      6分

（2）

∴    ∴      11分

（3）若三項成等差，則有

，右邊為大于2的奇數，左邊為偶數或1，不成立

∴      16分

考點：（1）等比數列的通項公式；（2）不等式恒成立與函數的最值；（3）不定方程的正整數解問題．