Question

已知函數f（x）=-x²+2tx-4在閉區間[0，1]上的最大值記為g（t）
（1）請寫出g（t）的表達式并畫出g（t）的草圖；
（2）若?t∈[0，3]，|g（t）|≤m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的二次函數的性質，寫出對于對稱軸所在的區間不同時，對應的函數的最小值，是一個分段函數形式；
（2）由（1）知函數g（t）的解析式，故可得到函數在[0，3]上的值域，進而得到滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=-x²+2tx-4=-（x-t）²-4+t² 的對稱軸為 x=t，
當0＜t＜1時，f（x）在區間[0，1]上的最小值g（t）=f（t）=t²-4；
當 t≤0時，f（x）在區間[0，1]上為減函數，故g（t）=f（0）=-4．
當 t≥1時，f（x）在區間[0，1]上為增函數，故g（t）=f（1）=-5+2t．
綜上可得，f（x）在區間[0，1]上的最小值g(t)=

-4，t≤0 t2-4，0＜t＜1 2t-5，t≥1

；
（2）①當t∈[0，1）時，g（t）=t²-4，
故g（t）∈[-4，-3），則|g（t）|∈（3，4]；
②當t∈[1，3]時，g（t）=2t-5，
故g（t）∈[-3，1]，則|g（t）|∈[1，3]；
綜上，對?t∈[0，3]，|g（t）|∈[1，4]，
則m≥4．

點評：本題看出二次函數的性質，針對于函數的對稱軸是一個變化的值，需要對對稱軸所在的區間進行討論，是一個易錯題，屬于中檔題．