Question

已知函數f（x）=

|x|-a

|x-a|

，則下列說法中正確的是（　　）

• A、若a≤0，則f（x）≤1恒成立
• B、若f（x）≥1恒成立，則a≥0
• C、若a＜0，則關于x的方程f（x）=a有解
• D、若關于x的方程f（x）=a有解，則0＜a≤1

Answer 1

分析：利用特殊值判斷A的正誤；通過絕對值的幾何意義判斷B的正誤；通過方程的零點判斷C的正誤；利用函數的值域判斷D的正誤；

解答：解：對于A，若a≤0，則f（x）≤1恒成立；當a=-1時，f（x）=

|x|+1

|x+1|

，x∈（-1，0）時，f（x）＞1，∴A不正確；
對于B，若f（x）≥1恒成立，即

|x|-a

|x-a|

≥1，可得|x|-|x-a|≥a，當a≥0時，x＜0，不等式不成立．∴B不正確；
對于C，若a＜0，則關于x的方程f（x）=a有解，即

|x|-a

|x-a|

=a有解，顯然不等式不成立，∴C不成立．
對于D，若關于x的方程f（x）=a有解，當a≤0時，f（x）＞0，等式不成立，
當a＞1時，f（x）≤1，不等式不成立，當0＜a≤1，f（x）∈（0，1）．∴D正確．
故選：D．

點評：本題考查函數的基本性質，函數恒成立，函數的零點，絕對值不等式的幾何意義，考查基本知識的應用．