Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2+2a)x，a∈R．
（1）當a=-2時，求f（x）在閉區間[-1，1]上的最大值與最小值；
（2）若線段AB：y=2x+3（0≤x≤2）與導函數y=f'（x）的圖象只有一個交點，且交點在線段AB的內部，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求函數的最大值與最小值，通過列表格的方法研究原函數的單調性及在端點處和極值處的函數值的大小；
（2）先將導函數與線段方程聯立，得到一個二次函數g（x），此函數在區間（0，2）內只有一根，即g（0）•g（2）＜0，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-2時，f(x)=

1

3

x3+2x2．（1分）
求導得f'（x）=x²+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	5 3	↘	0	↗	7 3

所以，f（x）在閉區間[-1，1]上的最大值是

7

3

，最小值是0．（7分）
（2）y=f'（x）=x²-2ax+a²+2a．（8分）
聯立方程組

y=x2-2ax+a2+2a y=2x+3

（9分）
得x²-2（a+1）x+a²+2a-3=0．（10分）
設g（x）=x²-2（a+1）x+a²+2a-3，則方程g（x）=0在區間（0，2）內只有一根，
相當于g（0）•g（2）＜0，即（a²+2a-3）•（a²-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）

點評：考查學生利用導數求函數在閉區間上的最值的能力以及函數和方程的綜合運用能力，對于兩個函數的交點問題，一般是將兩個函數聯立，轉化成方程根的個數問題．