Question

（07年江西卷理）（14分）

設正整數數列滿足：，且對于任何，有．

（1）求，；

（2）求數列的通項．

Answer 1

解析：（1）據條件得    ①

當時，由，即有，

解得．因為為正整數，故．

當時，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用數學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

因為時，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時，成立．

由1，2知，對任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用數學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

即　　　　　　②

由②左式，得，即，因為兩端為整數，

則．于是　　　　③

又由②右式，．

則．

因為兩端為正整數，則，

所以．

又因時，為正整數，則　　　　④

據③④，即時，成立．

由1，2知，對任意，．