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已知函數f(x)=ln(ex+1)—ax.

(Ⅰ)設a＞0,討論f(x)的單調性;

(Ⅱ)當a=9時,若△ABC的三個頂點A、B、C都在函數y=f(x)的圖像上，且橫坐標成等差數列，求證：△ABC為鈍角三角形.

解：(Ⅰ)由已知f′(x)=

當a≥1時,f′(x)＜0,y=f(x)在R單調遞減；

當0＜a＜1時,解f′(x)＞0得(1-a)(ex+1)＞1即ex＞-1+  ∴x＞ln

∴當0＜a＜1時,y=f(x)在(1n,+∞)內單調遞增；在(-∞,In)內單調遞減

(Ⅱ)當a=9時,f(x)=ln(ex+1)-9x在(-∞,+∞)上單調遞減

設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))不妨設x1＜x2＜x3

∴=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，=(x3-x2，f(x3)-f(x2))

又∵·=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))

又由f(x)的單調性知：

x1-x2＜0，x3-x2＞0，f(x1)- f(x2)＞0，f(x3)-f(x2)＜0

∴＜0   ∴cos∠ABC=＜0

∴△BAC為鈍角三角形

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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