Question

（2009•大連二模）已知a為實數，數列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時，an=

an-1-4 (an-1＞4) 5-an-1 (an-1≤4)

（I）當a=200時，填寫下列表格；

N	2	3	51	200
an

（II）當a=200時，求數列{a_n}的前200項的和S₂₀₀；
（III）令b n=

an

(-2)n

，T_n=b₁+b₂…+b_n求證：當1＜a＜

5

3

時，T n＜

5-3a

3

．

Answer 1

分析：（I）當a=200時，利用遞推式，即可得到相應結論；
（II）當a=200時，由題意知{a_n}數列的前50項成首項為200，公差為-4的等差數列，從第51項開始，奇數項均為1，偶數項均為4，分組求和，即可求數列{a_n}的前200項的和S₂₀₀；
（III）確定數列的通項，分類討論，分組求和，即可證得結論．

解答：（I）解：由題意，

n	2	3	51	200
an	196	192	1	4

…（4分）
（II）解：當a=200時，由題意知{a_n}數列的前50項成首項為200，公差為-4的等差數列，從第51項開始，奇數項均為1，偶數項均為4．
從而S₂₀₀=

200+196+…+4

共50項

+

1+4+…+1+4

共150項

=

(200+4)×50

2

+(4+1)×

150

2

=5475．…（6分）
（III）證明：當1＜a＜

5

3

時，因為a_n=

a，n為奇數 5-a，n為偶數

，
所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2n ，n為奇數 5-a 2n ，n為偶數

                 …（8分）
當n為偶數2k時，T_n=b₁+b₂+…+b_2k=-

a

2

+

5-a

22

-

a

23

+…+

5-a

22k

=-（

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

）+（

5-a

22

+…+

5-a

22k

）
=

a 2 [1-( 1 4 )k]

1- 1 4

+

5-a 4 [1-( 1 4 )k]

1- 1 4

=

5-3a

3

[1-(

1

4

)k]
因為1＜a＜

5

3

，所以

5-3a

3

[1-(

1

4

)k]＜

5-3a

3

，…（10分）
當n為奇數2k-1時，T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1=-

a

2

+

5-a

22

-

a

23

+…+

5-a

22k-2

-

a

22k-1

＜-（

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

）+（

5-a

22

+…+

5-a

22k

）
＜

5-3a

3

綜上：Tn＜

5-3a

3

．…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查不等式的證明，考查數列的求和，考查學生的計算能力，難度較大．