Question

設正數數列{a_n}為等比數列，a₂=4，a₄=16．
（1）求

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

（2）記b_n=2•log₂a_n，證明：對任意的n∈N^*，有

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

分析：（1）先根據a₂=4，a₄=16求出數列{a_n}的通項公式，然后代入

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

進行求解即可；
（2）利用數學歸納法進行證明，①當n=1時，不等式成立，②假設當n=k時不等式成立，然后證明當n=k+1時，不等式成立，從而證得結論．

解答：解（1）可知q²=4，又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，∴lga_n=lg2ⁿ=nlg2．

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

=

lim

n→∞

lg2

(1+2+…n)

n2

=

lim

n→∞

lg2

n(n+1)

2n2

=

lg2

2

（2）①當n=1時，左邊=

3

2

，右邊=

2

，因為

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立．則當n=k+1時，左邊=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

(k+1)+ 1 4(k+1) +1

＞

(k+1)+1

所以當n=k+1時，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及等差數列求和和利用數學歸納法證明不等式，屬于中檔題．