Question

設數列的前項和為，且滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）在數列的每兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列，在兩項之間插入個數，使這個數構成等差數列，求的值；
（3）對于（2）中的數列，若，并求（用表示）．

Answer 1

（1）；（2） 
（3） 

解析試題分析：（1）當時，由.又與相減得：
，故數列是首項為1，公 比為2的等比數列，所以； 4分
（2）設和兩項之間插入個數后，這個數構成的等差數列的公差為，則
，又，故  8分
（3）依題意，

，考慮到，
令，則
，
所以  12分
考點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念及其通項公式，數列的求和。
點評：典型題，本題首先由的關系，確定數列的通項公式是關鍵。求和過程中應用了“錯位相減法”。在數列問題中，“分組求和法”“裂項相消法”也常常考到。