Question

已知，，
（1）當時，求的單調區間
（2）若在上是遞減的，求實數的取值范圍； 
（3）是否存在實數，使的極大值為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為，；（2）；（3）不存在實數，使的極大值為3．

試題分析：（1）先由得到h(x)的具體解析表達式，求出其導函數，通過解不等式得到其增區間，解不等式得到其減區間；
（2）在上是遞減的等價于在上恒成立，從而通過分離參數轉化為恒成立，從而獲得實數的取值范圍；
（3）先利用導數方法將的極大值用a的代數式表達出來，得到的極大值在處取到，即，令其等于3顯然不好判斷是否有解，我們可以再利用導數的方法判斷出在上單調遞增，從而可知所求實數a不存在．
試題解析：(1) 當時，，則
令，解得；令，解得或
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，
（2）由在上是遞減的，得在上恒成立，
即在上恒成立，解得，又因為，
所以實數的取值范圍為 
（3），令，解得或

由表可知，的極大值在處取到，即，
設，則，所以在上單調遞增
，所以不存在實數，使的極大值為3