Question

（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.

（1）求四棱錐的體積；

（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）V_P—ABCD=×2×=2.  （2）異面直線DE與PA所成角的余弦值為.

【解析】本試題主要是考查了四棱錐的體積和異面直線的所成的角的求解問題。

（1）底面是菱形，根據錐體的體積公式得到高度和底面積，得到求解。

（2））取AB的中點F，連接EF，DF，

∵E為PB中點，∴EF∥PA，

∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補角）然后借助于解三角形得到結論。

解  （1）在四棱錐P—ABCD中，

∵PO⊥平面ABCD，

∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，

即∠PBO=60°，                                          ……1分

在Rt△POB中，

∵BO=AB·sin30°=1，

又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,       ………2分

∵底面菱形的面積S=2××2×2×=2.………3分

∴四棱錐P—ABCD的體積

V_P—ABCD=×2×=2.                               5分

（2）取AB的中點F，連接EF，DF，

∵E為PB中點，∴EF∥PA，

∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補角）. ………7分    

在Rt△AOB中，

AO=AB·cos30°==OP，

∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=.………9分

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，

由余弦定理得

∴cos∠DEF=     

===.………11分

所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.                    12分