Question

已知直線l為橢圓x²＋4y²＝4的切線，并與坐標軸交于A、B兩點，試求|AB|的最小值；若橢圓和圓C：(x－1)²＋y²＝r²永遠相交，試求r的最小值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：設切線方程為y＝kx＋m，由得 　　(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0． 　　由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝0，得m2＝4k2＋1， 　　由A(0，m)，B(，0)得|AB|2＝＋4k2＋5≥9， 　　∴|AB|的最小值為3． 　　由得． 　　又∵－2≤x≤2，∴當x＝時， 　　r最小為，當x＝－2時，r最大為3， 　　即|AB|的最小值為3；所求r的最小值為，r的最大值為3．

提示：

求兩曲線的交點坐標可由方程組的解得到．利用拋物線定義，拋物線上的點到焦點的距離可轉化為到準線的距離，得到d＝y1＋y2＋2，欲求d的最值，需表示出y1＋y2，自然聯想到韋達定理，從而設出l的方程與拋物線方程組成方程組求解．解題時要充分挖掘題中的隱含條件，并利用好圖形幫助分析解題的途徑．