Question

如圖，線段AB過y軸上一點 N（0，m），AB所在直線的斜率為k（k≠0），兩端點A，B到y 軸的距離之差為4k。

（1）求以y軸為對稱軸，過A，O，B三點的拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點F作動弦CD，過C，D兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求的值。

Answer 1

解：（1）依題意，設AB所在直線方程為y=kx+m，拋物線方程為x²=2py（p>0），
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設知x₁>0，x₂＜0，
∴|x₁|-|x₂|=4k，即x₁+x₂=4k，
由消去y并整理，得x²-2pkx-2pm=0，
∴x₁+x₂=2pk=4k，
∴p=2
故所求拋物線方程為x²=4y。
（2）由（1）得，求導數得
設
則過拋物線上C，D兩點的切線方程分別為

即
聯立上述兩個方程，得
∴兩條切線的交點M的坐標為
設CD所在直線方程為y=nx+1，代入x²=4y，得x²-4nx-4 =0
∴x₃x₄=-4，
∴M的坐標為
故點M的軌跡方程為y=-1
又∵
∴

而
∴。