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給定正整數 n 和正數 M，對于滿足條件a12+an+12≤M 的所有等差數列 a1，a2，a3，…．，試求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．
分析：設公差為d，an+1=a，由S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+
n(n+1)
2
d得，a+
nd
2
=
S
n+1
，則有M≥
4
10
(
S
n+1
)2，下面由基本不等式的性質可解．
解答：解：設公差為d，an+1=a，
則S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a為首項，d為公差的等差數列的前（n+1）項和，
所以S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+
n(n+1)
2
d．
同除以（n+1），得 a+
nd
2
=
S
n+1
．
則M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=
4
10
(a+
nd
2
)2+
1
10
(4a-3nd)2≥
4
10
(
S
n+1
)2
因此|S|≤
10
2
（n+1）
M
，
且當 a=
3
10
M
，d=
4
10
•
1
n
M
 時，
S=（n+1）〔
3
10
M
+
n
2
•
4
10
•
1
n
M
〕
=（n+1）
5
10
M
=
10
2
（n+1）
M

由于此時4a=3nd，故 a12+an+12=
4
10
(
S
n+1
)2=
4
10
•
10
4
M=M．
所以，S的最大值為
10
2
（n+1）
M
．
點評：本題為數列和不等式的結合，正確變形時解決問題的關鍵，屬中檔題．
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