Question

（2008•奉賢區一模）我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數y=f（x）（x∈D），對任意x，y，

x+y

2

∈D均滿足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，當且僅當x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）設函數g（x）=-x²，求證：g（x）∈M．
（3）已知函數f（x）=log₂x∈M．試利用此結論解決下列問題：若實數m、n滿足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據對任意x，y，

x+y

2

∈D均滿足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]可得

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，化簡可得結論；
（2）任取x，y∈R，然后計算g(

x+y

2

)-

1

2

[g(x)+g(y)]的符號，從而判定是否滿足定義；
（3）設x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1，而函數f（x）=log₂x滿足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]建立關系式可求出m+n的最大值．

解答：解：（1）

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案寫成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                          （4分）
（2）任取x，y∈R，則g(

x+y

2

)=-(

x+y

2

)2，

1

2

[g(x)+g(y)]=-

x2+y2

2

，（6分）
所以g(

x+y

2

)-

1

2

[g(x)+g(y)]=-

(x+y)2

4

+

x2+y2

2

=

x2+y2-2xy

4

≥0，
當且僅當x=y時等號成立，則g（x）∈M．（10分）
（3）設x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函數f（x）=log₂x滿足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]
得log2

x+y

2

≥

1

2

[log2x+log2y]，即log2

1

2

≥

1

2

(m+n)，則m+n≤-2（14分）
當且僅當x=y，即2m=2n=

1

2

，即m=n=-1時，m+n有最大值為-2．（16分）

點評：本題主要考查了抽象函數的性質，以及基本不等式研究函數的最值，屬于中檔題．