Question

已知：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA₁的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設A₁E=m，AF=n．求證：EF=．

Answer 1

證明見解析

解析:

本小題考查空間圖形的線面關系，空間想象能力和邏輯思維能力．

解法一：設經過b與a平行的平面為α，經過a和AA₁的平面為β，α∩β=c，則   c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA₁⊥c．

∵    AA₁⊥b，  ∴       AA₁⊥α．

根據兩個平面垂直的判定定理，β⊥α．

在平面β內作EG⊥c，垂足為G，則EG=AA₁．并且根據兩個平面垂直的性質定理，EG⊥α．連結FG，則EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF₂=EG₂+FG₂．

∵    AG=m，

∴  在△AFG中，FG²=m²+n²－2mncosθ．

∵    EG²=d²，∴ EF²=d²+m²+n²－2mncosθ．

如果點F(或E)在點A(或A₁)的另一側，則

EF²=d²+m²+n²+2mncosθ．

    因此，EF=

解法二：經過點A作直線c∥a，則c、b所成的角等于θ，且AA₁⊥c．

根據直線和平面垂直的判定定理，AA₁垂直于b、c所確定的平面a．

在兩平行直線a、c所確定的平面內，作EG⊥c，垂足為G，則EG平行且等于AA₁，

從而EG⊥α．連結FG，則根據直線和平面垂直的定義，EG⊥FG．

在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²．

(以下同解法一)