Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
②函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③設，數列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，則{a_n}是單調遞減數列；
④若函數y=f（x-1）是偶函數，則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．其中所有正確命題的序號是________．

Answer 1

①②③
分析：①由x|x|是奇函數，bx是奇函數，c是偶函數，知函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互換，得函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1）；③由，數列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，知f（n）=，所以{a_n}是單調遞減數列；④y=f（x-1）是偶函數，它的圖象關于y軸（x=0）對稱．變成y=f（x），需要向左平移1個單位． 故：y=f（x）關于x=-1對稱．
解答：①∵x|x|是奇函數，bx是奇函數，c是偶函數，
∴函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
故①成立；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，
x，y互換，得函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1）；
故②成立；
③由，數列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，
知f（n）=，
∵n+1≥2，
∴f（n）單調減，
∴{a_n}是單調遞減數列．
故③成立；
④y=f（x-1）是偶函數，它的圖象關于y軸（x=0）對稱．
變成y=f（x），需要向左平移1個單位．
故：y=f（x）關于x=-1對稱．
故④不成立．
故答案為：①②③．
點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的奇偶性、單調性、對稱性和反函數的合理運用．