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設x，y∈R，數學公式、為直角坐標系內x、y軸正方向上的單位向量，若數學公式=x數學公式+（y+2）數學公式，數學公式=x數學公式+（y-2）數學公式且數學公式2+數學公式2=16．
（1）求點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）過定點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設數學公式，是否存在直線l使四邊形OAPB為正方形？若存在，求出l的方程，若不存在說明理由．

解：（1）∵=x+（y+2），=x+（y-2）且2+2=16，為直角坐標系內x、y軸正方向上的單位向量，
∴x2+（y+2）2+x2+（y-2）2=16
∴點M（x，y ）的軌跡C的方程是x2+y2=4；
（2）假設存在直線l，設方程為y=kx+3，代入x2+y2=4可得（1+k2）x2+6kx+5=0
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-，x1•x2=
由題意，，則x1•x2+y1•y2=0
∴x1•x2+k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=0
∴++3k•（-）+9=0
∴k=
∴存在l且l的方程為y=．
分析：（1）利用向量的數量積公式，即可求得點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）設出直線方程，代入圓的方程，結合韋達定理及向量的數量積公式，即可得到結論．
點評：本題考查軌跡方程，考查數量積公式的運用，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：單選題

函數數學公式的反函數圖象是


  1. A.
  2. B.
  3. C.
  4. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知集合M={x||x|＜3，x∈Z}，N={x||x|≥1，x∈Z}，則集合M∩N中元素的個數是


  1. A.
    8
  2. B.
    6
  3. C.
    4
  4. D.
    2

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

若數學公式的二項展開式中第5項為常數項，則n=________．

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

把直線x-y+數學公式-1=0繞點（1，數學公式）逆時針旋轉15°后，所得的直線l的方程是


  1. A.
    y=-數學公式x
  2. B.
    y=數學公式x
  3. C.
    x-數學公式y+2=0
  4. D.
    x+數學公式y-2=0

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）已知圓C經過A（5，1），B（1，3）兩點，圓心在x軸上，求圓C的方程．
（2）求與圓x2+y2-2x+4y+1=0同心，且與直線2x-y+1=0相切的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

下列說法正確的是


  1. A.
    兩兩相交的三條直線確定一個平面
  2. B.
    圓心和圓上兩點可以確定一個平面
  3. C.
    經過一條直線和一個點確定一個平面
  4. D.
    梯形可以確定一個平面

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=數學公式ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函數的單調減區間．
（2）若函數在區間（3，6）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

如圖，圓內切于正方形，向該正方形內隨機投擲N個點（假設N足夠大，如N＞1000），設落在陰影部分的點N1個，那么由隨機模擬思想可得圓周率π的近似值為________．

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