Question

已知函數．
（Ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，討論函數在區間上的單調性；
（Ⅲ）證明不等式對任意成立．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在區間上單調遞增；
從而可得，
得到對任意成立．
通過取，，得，．
將上述n個不等式求和,得到:，
證得對任意成立．

試題分析：（Ⅰ）首先求，切線的斜率，求得切線方程.
（Ⅱ）當時，根據，只要考查的分子的符號．
通過討論，得時在區間上單調遞增；
當時，令求得其根． 利用“表解法”得出結論：函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在區間上單調遞增；
從而可得，
得到對任意成立．
通過取，，得，．
將上述n個不等式求和,得到:，
證得對任意成立．
試題解析：．
（Ⅰ）當時，，切線的斜率，
所以切線方程為，即．       3分
（Ⅱ）當時，因為，所以只要考查的符號．
由，得，
當時，，從而，在區間上單調遞增；
當時，由解得．  6分
當變化時，與的變化情況如下表：

函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在區間上單調遞增；
所以，
即對任意成立．      11分
取，，
得，即，．  13分
將上述n個不等式求和,得到:，
即不等式對任意成立．   14分