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設函數f（x）的定義域為D，如果存在正實數k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數f（x）為D上的“k型增函數”．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2013型增函數”，則實數a的取值范圍是
(-∞，
671
2
)
(-∞，
671
2
)
．
分析：利用奇函數的性質可得f（x）的解析式，再利用新定義對x分類討論和絕對值的意義即可得出．
解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0．
設x＜0，則-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f(x)=
|x-a|-2a，x＞0
0，x=0
-|x+a|+2a，x＜0
．
分類討論：
①當x＞0時，由f（x+2013）＞f（x），可得|x+2013-a|-2a＞|x-a|-2a，化為|x-（a-2013）|＞|x-a|，由絕對值的幾何意義可得a+a-2013＜0，解得a＜
2013
2
．
②當x＜0時，由f（2013+x）＞f（x），
分為以下兩類研究：當x+2013＜0時，可得-|x+2013+a|+2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2013+a|＜|x+a|，由絕對值的幾何意義可得-a-a-2013＞0，解得a＜
2013
2
．
當x+2013＞0，|x+2013-a|-2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2013-a|+|x+a|≥|2013-2a|＞4a，a≤0時成立；當a＞0時，a＜
2013
6
，因此可得a＜
2013
6
=
671
2
．
③當x=0時，由f（2013）＞f（0）可得|2013-a|-2a＞0，當a≤0時成立，當a＞0時，a＜671．
綜上可知：a的取值范圍是a＜
671
2
．
故答案為(-∞，
671
2
)．
點評：本題考查了奇函數的性質、新定義、分類討論和絕對值的意義等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-
3
2
）與b=f（
15
2
）的大小關系為
a＞b
a＞b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）為定義在[0，1]上的非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當x∈[0，
1
4
]時，f（x）≥2x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

設函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-數學公式）與b=f（數學公式）的大小關系為________．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省蚌埠二中高三（上）12月月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

設函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-）與b=f（）的大小關系為    ．

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科目：高中數學 來源：山東省月考題 題型：填空題

設函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣cosx，則a=f（﹣）與b=f（）的大小關系為（    ）．

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