Question

已知函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取極值2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當m滿足什么條件時，f（x）在區間（m，2m+1）為增函數；
（3）若P（x₀，y₀）是函數f（x）圖象上一個動點，直線l與函數f（x）圖象切于P點，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取極值2，可得

f′(1)=0 f(1)=2

，求出a，b，即可求函數f（x）的解析式；
（2）令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，即f（x）在[-1，1]上是增函數，又f（x）在（m，2m+1）上為增函數，可得不等式組，即可求m的值；
（3）利用導數求斜率，再換元，配方，即可求直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

…1’
由已知

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a(b-1) (1+b)2 =0 a 1+b =2

，∴

a=4 b=1

，
∴函數f（x）的解析式為f(x)=

4x

x2+1

…3’
（2）由（1）得f′(x)=

4(1-x2)

(x2+1)2

，令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1…4’
故f（x）在[-1，1]上是增函數…5’
又f（x）在（m，2m+1）上為增函數，
∴

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，解得-1＜m≤0…7’
即當-1＜m≤0時，函數f（x）在（m，2m+1）為增函數…8’
（3）∵直線l與f（x）圖象切于P（x₀，y₀）點
∴l斜率k=f′(x0)=

4-4 x 2 0

( x 2 0 +1)2

=

-4

x 2 0 +1

+

8

( x 2 0 +1)2

…9’
令t=

1

x 2 0 +1

，則0＜t≤1，k=8t2-4t=8(t-

1

4

)2-

1

2

…10’
當t=

1

4

時，kmin=-

1

2

，當t=1時，k_max=4…11’
故直線l斜率的取值范圍是[-

1

2

，4]…12’

點評：本題考查導數知識的運用，考查極值的意義，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，正確求導是關鍵．