Question

設f（x）=ax²+bx+c（a≠0)，若函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱.求證：f(x+)為偶函數.

Answer 1

證明略

解析:

方法一  （混合型分析法）

要證f(x+)為偶函數，只需證明其對稱軸為x=0.

即只需證--=0.

只需證a=-b.（中途結果）

由已知，拋物線f(x+1)的對稱軸x=-1與拋物線的對稱軸x=關于y軸對稱.

∴-1=-.

于是得a=-b（中途結果）.

∴f(x+)為偶函數.

方法二  （混合型分析法)

記F（x）=f(x+)，

欲證F（x）為偶函數，只需證F（-x）=F（x），

即只需證f(-x+)=f(x+)，（中途結果）.

由已知，函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，而函數f(x)與f(-x)的圖象也是關于y軸對稱的，

∴f（-x）=f（x+1）.

于是有f (-x+)=f [-(x-)]

=f [(x-)+1]=f (x+)（中途結果）.

∴f(x+)為偶函數.