Question

（2010•湖北模擬）對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p、q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“M類數列”；
（1）若a_n=2n，數列{a_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p、q，若不是，請說明理由；
（2）數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），若數列{a_n}是“M類數列”，求數列{a_n}的通項公式；
（3）記數列{a_n}的前n項之和為S_n，求證：

4

S1S2

+

4

S2S3

+

4

S3S4

+…+

4

SnSn+1

＜

19

42

（n≥3）．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2n，可得a_n+1=a_n+2，根據“M類數列”定義，可得結論；
（2）根據數列{a_n}是“M類數列”，可得存在實常數p、q使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，結合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），可求數列{a_n}的通項公式；
（3）確定數列{a_n}的前n項之和為S_n，利用放縮法，結合裂項求和，即可得到結論．

解答：（1）解：∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，
故數列{a_n}是“M類數列”，對應的實常數p、q的值分別為1、2．（2分）
（2）解：∵數列{a_n}是“M類數列”，
∴存在實常數p、q使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
∴a_n+2=pa_n+1+q，故（4分）
又an+an+1=3•2n(n∈N*)，∴對于任意n∈N^*都成立，
即對于任意n∈N^*都成立，（6分）
因此p=2，q=0
此時，∴an=2n(n∈N*)（8分）
（3）證明：由（2）知：Sn=2(2n-1)（9分）
當n≥3時，2n-1=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

-1≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

-1=2n+1，
當且僅當n=3時等號成立，所以S_n≥2（2n+1）（11分）
于是

4

SnSn+1

=

1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)(n≥3)
因為S₁=2，S₂=6，S₃=14，所以

4

S1S2

+

4

S2S3

+

4

S3S4

+…+

4

SnSn+1

＜

1

3

+

1

21

+

1

2

[(

1

7

-

1

9

)+(

1

9

-

1

11

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

8

21

+

1

2

(

1

7

-

1

2n+3

)＜

19

42

．（13分）

點評：本題考查新定義，考查數列與不等式的結合，考查數列的通項，考查放縮法、裂項法，屬于中檔題．