Question

已知點集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，點列Pn(an，bn)在點集L中，P1為L的軌跡與y軸的交點，已知數列{an}為等差數列，且公差為1，n∈N*.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)求·OPn＋1的最小值；

(3)設cn＝ (n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

 

Answer 1

（1）bn＝2n－1(n∈N*)．（2）3.（3）

【解析】(1)由y＝m·n，

m＝(2x－2b,1)， n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，

即L的軌跡方程為y＝2x＋1.

∵P1為L的軌跡與y軸的交點，

∴P1(0,1)，則a1＝0，b1＝1，

∵數列{an}為等差數列，且公差為1，

∴an＝n－1(n∈N*)，

代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)，

∴·OPn＋1＝(n－1,2n－1)·(n,2n＋1)

＝5n2－n－1＝52－.

∵n∈N*，

∴當n＝1時，·OPn＋1有最小值，為3.

(3)當n≥2時，由Pn(n－1,2n－1)，

得an·|PnPn＋1|＝ (n－1)，

cn＝，

∴c2＋c3＋…＋cn＝