Question

  設曲線Ｃ：的離心率為，右準線與兩漸近線交于Ｐ，Ｑ兩點，其右焦點為Ｆ，且△PQF為等邊三角形。

 （1）求雙曲線C的離心率；

 （2）若雙曲線C被直線截得弦長為，求雙曲線方程；

   （3）設雙曲線C經過，以F為左焦點，為左準線的橢圓的短軸端點為B，求BF 中點的軌跡N方程。

Answer 1

（1）2

（2）或

（3）（或）

解析:

⑴如圖：易得P                           

設右準線與軸的交點為M，

∵△PQF為等邊三角形

∴|MF|=|PM|                                   

∴

化簡得：                                       

∴

∴            

 ⑵ 由⑴知：

∴雙曲線方程可化為：，即   

聯列方程：

消去得：

由題意：    （*）                           

設兩交點A，B

則

∴|AB|==

化簡得：，即

解得：或，均滿足（*）式              

∴  或

∴所求雙曲線方程為：或   

  ⑶由⑴知雙曲線C可設為：

∵其過點A      ∴

∴雙曲線C為：                          

∴其右焦點F，右準線：

設BF的中點N，則B                

由橢圓定義得：（其中為點B到的距離）

∴

化簡得：

∵點B是橢圓的短軸端點，故

∴BF的中點的軌跡方程是：（或）