Question

已知函數.
（1）當且時，證明：；
（2）若對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，證明：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，構造新函數，問題轉化為證明，只需利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性來證明該不等式；（2）解法一是利用參數分離法將不等式轉化為在上恒成立，構造新函數，問題轉化為
來處理；解法二是構造新函數，問題轉化為來處理，求出導數的根，對與區間的相對位置進行分類討論，以確定函數的單調性與最值，從而解決題中的問題；解法三是利用參數分離法將問題轉化為，從而將問題轉化為來處理，而將視為點與點連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應問題；（3）利用分析法將問題等價轉化為證明不等式，結合（1）中的結論
結合放縮法證明，最后利用累加法證明相關不等式證明.
試題解析：（1）證明：要證，即證，
令，則，
在單調遞增，，
，即成立；
（2）解法一：由且可得，
令，，
由（1）知，
，函數在上單調遞增，當時，，
；
解法二：令，則，
當時，，函數在上是增函數，有，------6分
當時，函數在上遞增，在上遞減，
對，恒成立，只需，即；
當時，函數在上遞減，對，恒成立，只需，
而，不合題意，
綜上得對，恒成立，；
解法三：由且可得，

由于表示兩點、的連線斜率，
由圖象可知在單調遞減，
故當，，
，即；
（3）當時，，則，
要證，即證，
由（1）可知，又
，，
，

，
故.