Question

（2011•揭陽一模）已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2 n

+xn-a．（n∈N^*，a為常數）
（1）若a=

1

4

，求證：數列{lg(xn+

1

2

)}是等比數列；
（2）在（1）條件下，求證：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，知xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，由x1=

1

3

，知xn+

1

2

＞0，由此能夠證明數列{lg(xn+

1

2

)}是等比數列．
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，即xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1，由0＜

5

6

＜1，知要證(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需證2ⁿ≥2n，由此能夠證明證：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

解答：證明：（1）∵xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，（1分）
∵x1=

1

3

∴xn+

1

2

＞0，則 lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)，（3分）
∴數列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

為首項，以2為公比的等比數列，（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，化簡得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要證(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需證2ⁿ≥2n，（8分）
證法一：當n=1或2時，有2ⁿ=n，
當n≥3時，2n=(1+1)n=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（10分）
∴2ⁿ≥2n對n∈N^*都成立，n=1
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)．（12分）
證法二：用數學歸納法證明，
①當時，結論顯然成立；n=k+1，（9分）
②假設當n=k（k≥1）時結論成立，即2^k≥2k，
當n=k+1時，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，（10分）
∴當時結論也成立
綜合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，對n∈N^*都成立．（12分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．