Question

設雙曲線C以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點為焦點，且雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為2

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點E，F，且E，F都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，求實數m的取信范圍．

Answer 1

分析：（1）設要求的雙曲線C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其漸近線方程為y=±

b

a

x．先求出橢圓的焦點，即得到雙曲線的焦點，利用點到直線的距離公式及a²=c²-b²即可；
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，利用圓的方程即可得到k，m的關系式．利用直線y=kx+m與雙曲線的方程，利用△＞0及根與系數的關系即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）設要求的雙曲線C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其漸近線方程為y=±

b

a

x．
∵

25-9

=4，∴橢圓的兩個焦點為（±4，0），即為雙曲線的兩個焦點．
∴焦點（4，0）到漸近線y=

b

a

x的距離2

3

=

|4b|

a2+b2

，得4b=2

3

×4，解得b=2

3

．
∴a2=c2-b2=42-(2

3

)2=4，
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵E，F都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，
∴

x

2 1

+(y1-3)2=

x

2 2

+(y2-3)2，化為x₁+x₂+k（y₁+y₂-6）=0，
又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
代入上式整理得（1+k²）（x₁+x₂）+k（2m-6）=0．（*）
聯立

y=kx+m 3x2-y2=12

，化為（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0（3-k²≠0）．
由題意△=4k²m²+4（3-k²）（m²+12）＞0，化為12+m²＞4k²．（**）
又x1+x2=

2km

3-k2

，（k≠0），代入（*）整理為k2=

9-4m

3

，代入（**）
整理為3m²+16m＞0，解得m＜-

16

3

或m＞0．
由k2=

9-4m

3

＞0，解得m＜

9

4

．
∴實數m的取值范圍是(-∞，-

16

3

)∪（0，

9

4

）．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為判別式及根與系數的關系等基礎知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力．