Question

（2013•西城區一模）已知函數f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若存在區間M，使f（x）和g（x）在區間M上具有相同的單調性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由導數運算法則知，f'（x）=e^x+a，對字母a進行分類討論，再利用導數與單調性關系求出極值即可；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數a的值，使函數f（x）和函數g（x）在M上具有相同的單調性，再利用導數工具，求出函數的單調區間，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，且 f'（x）=e^x+a．
①當a=0時，f（x）=e^x，故f（x）在R上單調遞增．
從而f（x）沒有極大值，也沒有極小值．
②當a＜0時，令f'（x）=0，得x=ln（-a）．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，ln（-a））	ln（-a）	（ln（-a），+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的單調減區間為（-∞，ln（-a））；單調增區間為（ln（-a），+∞）．
從而f（x）的極小值為f（ln（-a））=-a+aln（-a）；沒有極大值．
（Ⅱ）g（x）的定義域為（0，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
③當a=0時，f（x）在R上單調遞增，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，不合題意．
④當a＜0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上單調遞減．
當-1≤a＜0時，ln（-a）≤0，此時f（x）在（ln（-a），+∞）上單調遞增，由于g（x）在（0，+∞）上單調遞減，不合題意．
當a＜-1時，ln（-a）＞0，此時f（x）在（-∞，ln（-a））上單調遞減，由于g（x）在（0，+∞）上單調遞減，符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數、導數、不等式等基礎知識，以及綜合運用上述知識分析問題和解決問題的能力．