Question

(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為菱形，，為的中點，。

 

（1）求證：平面;

 (2) 求四棱錐的體積

（3）在線段上是否存在點，使平面；   若存在，求出的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；

(3)存在，當時，平面。

【解析】本試題主要是考查了空間幾何體中線面的垂直問題，以及錐體的體積，和線面平行的判定綜合運用。

（1）連BD，四邊形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

    △ABD為正三角形， Q為AD中點， ∴AD⊥BQ

∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ 又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB.

（2）因為平面，那么是四棱錐的高，

利用錐體的體積公式得到。

（3）因為AQ//BC,那么結合PA//MN，得到判定定理，從而得到證明。

解：（1）連BD，四邊形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

    △ABD為正三角形， Q為AD中點， ∴AD⊥BQ…………………………2分

∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ……………………………3分

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB. ………………………………5分

（2）平面平面

平面平面=

平面，

所以平面…………………………………7分

是四棱錐的高，

…………………………………9分

(3)存在，當時，平面

由可得，，……………………11分

   ………………………………………………………12分

平面，平面，平面………………14分