Question

如圖所示，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點為F₂，且其準線與x軸交于F₁，以F₁，F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定c=1，再利用橢圓的離心率，求出幾何量，即可得到橢圓C₂的方程；
（2）假設存在，橢圓方程與拋物線方程聯立，求出P的坐標，從而可得結論．

解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F₂（1，0）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=3
所以橢圓C₂方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設存在實數m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長是連續的自然數，則
因為c=m，e=

c

a

=

1

2

，則a=2m，b²=3m²，
設橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，與拋物線方程聯立得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=

2m

3

，代入拋物線方程得y_P=

2 6 m

3

∴P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
∴|PF₂|=x_P+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
∵△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數，∴m=3．

點評：本題考查橢圓方程，考查使得三角形周長是連續的自然數的最小實數的求法，考查橢圓與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．