Question

求過拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上一點P（x，y）處的切線方程，并由此證實拋物線的光學性質．

Answer 1

【答案】分析：為求斜率，先求導函數，得到切線方程，根據拋物線焦點：F（，），它關于切線的對稱點之橫坐標為x，
說明從焦點發出的光線射到（x，y）經拋物面反射后反射光線平行于對稱軸，反之亦然，與對稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點．
解答：解：顯然，y=ax²+bx+c
y′=2ax+b故在P點處切線斜率為2ax+b，
切線方程y-（ax²+bx+c）=（2ax+b）（x-x），
亦即y=（2ax+b）x-ax²+c．
由于y=ax²+bx+c按向量=平移即得到y=ax²，
只須證明過其上一點（x，ax²）的切線l：y=2axx-ax²
滿足：焦點關于l的對稱點為（m，n）．
當x≠0時，消去n．知m=x．
當x=0時，切線為y=0，F之對稱點橫坐標顯然是0，
故從焦點發出的光線射到（x，ax²）后被拋物面反射后的方程為x=x（與對稱軸平行）；
反之，與對稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，要求過曲線上一點處的切線方程，一般先求出該點的導數值（斜率），再用點斜式寫出后化簡，同時我們還可以據此寫出該點處的法線方程，考查轉化思想，屬于基礎題．