Question

下列四個命題：
①命題P：

x-2

x2+2x-3

≤0；則￢P命題是；

x-2

x2+2x-3

＞0；
②（1+kx²）¹⁰（k為正整數）的展開式中，x¹⁶的系數小于90，則k的值為1；
③從總體中抽取的樣本（x₁，y₁），（x₂，y₂）…，（x_n，y_n）．若記

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi，則回歸直線

y

=bx+a必過點（

.

x

，

.

y

）；
④過雙曲線x2-

y2

4

=1的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若弦長|AB|=8，則這樣的直線恰好有3條；其中正確的序號是

②③④

（把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①利用命題的否定判斷．②利用二項展開式定理的內容判斷．③根據回歸直線的性質判斷．④利用直線與雙曲線的相交弦的取值情況進行判斷．

解答：解：①命題P的否定是：

x-2

x2+2x-3

＞0且x²+2x-3=0，所以①錯誤．
②二項展開式的通項公式為C

r 10

(kx2)r，所以當r=8時，得到x¹⁶的系數為，

C

8 10

k8＜90，解得k⁸＜2，
因為k為正整數，所以k=1，所以②正確．
③根據回歸直線的性質可知，回歸直線

y

=bx+a必過點（

.

x

，

.

y

），所以③正確．
④由雙曲線x2-

y2

4

=1的方程知a=1，b=2，
過右焦點的通徑長度為

2b2

a

=8，因為過焦點且交雙曲線一支的弦中通徑最短，所以當A、B都在右支且滿足AB|=8的弦只有一條；又實軸長為2，小于8，所以過右焦點、A、B位于兩支且滿足|AB|=8的弦必有兩條，綜上，滿足條件|AB|=8的直線有3條，所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較大．