Question

（本小題滿分12分）已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）數列滿足：，且,記數列的前n項和為，

且.

（ⅰ）求數列的通項公式；并判斷是否仍為數列中的項？若是，請證明；否則，說明理由.

（ⅱ）設為首項是,公差的等差數列，求證：“數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項”的充要條件是“存在整數，使”

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，遞增區間為；當時, 遞增區間為

（Ⅱ）（ⅰ）,不在數列中

（ⅱ）數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項的充要條件是存在整數，使

【解析】（Ⅰ）因為，所以. 

（i）當時，.

（ii）當時，由，得到，知在上.

（iii）當時，由，得到，知在上.

綜上，當時，遞增區間為；當時, 遞增區間為.  

（Ⅱ）（i）因為，所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因為，

當時，，當時，，

所以.又因為，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數，使.設為數列中不同的兩項，則.

又且,所以.即是數列的第項.

必要性：若數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項，

則，，（，為互不相同的正整數）

則，令，

得到 ，

所以，令整數，所以.　……（11 分）

下證整數.若設整數則.令，

由題設取使

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項的充要條件是存在整數，使