Question

已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函數f（x）沒有零點，求實數m的取值范圍；
（2）若函數f（x）存在極大值，并記為g（m），求g（m）的表達式；
（3）當m=0時，求證：f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（1）若函數沒有零點，則對應的方程（x²+mx+m）e^x=0沒有實根，根據指數的性質，我們易將問題轉化為二次方程根的個數判斷問題，由此列出關于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）求出函數的導函數，由于其表達式中含有參數m，故可對m的取值進行分類討論，綜合討論過程即可得到答案．
（3）當m=0時，f（x）=x²e^x，構造函數?（x）=e^x-1-x，求出函數的導函數后，我們易判斷出函數的單調區間及最小值，若最小值大于等于0即可得到結論．

解答：解：（1）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0．
因為函數f（x）沒有零點，所以△=m²-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）
（2）f'（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=（x+2）（x+m）e^x，
令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，
當m＞2時，-m＜-2．列出下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m，-2）	-2	（-2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	me-m	↘	（4-m）e-2	↗

當x=-m時，f（x）取得極大值me^-m．（6分）
當m=2時，f'（x）=（x+2）²e^x≥0，f（x）在R上為增函數，
所以f（x）無極大值．（7分）
當m＜2時，-m＞-2．列出下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-m）	-m	（-m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	（4-m）e-2	↘	me-m	↗

當x=-2時，f（x）取得極大值（4-m）e^-2，（9分）
所以g(m)=

me-m，m＞2 (4-m)e-2，m＜2

（10分）
（3）當m=0時，f（x）=x²e^x，令?（x）=e^x-1-x，則?'（x）=e^x-1，
當x＞0時，φ'（x）＞0，φ（x）為增函數；當x＜0時，φ'（x）＜0，φ（x）為減函數，
所以當x=0時，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，e^x-1-x≥0，所以e^x≥1+x，
因此x²e^x≥x²+x³，即f（x）≥x²+x³．（16分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數的解析式，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．