Question

已知兩實數x，y滿足

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：（1）z=3x-2y的最大值；
（2）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析：（1）畫出約束條件表示的可行域，推出目標函數z=3x-2y經過的點，求出最大值．
（2）通過表達式的幾何意義，判斷最小值時的位置求出最值即可．

解答：解：（1）由約束條件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的可行域如圖，
直線2x-y-5=0與直線 x+y-4=0的交點（3，1）作直線3x-2y=0的平行線l，
當l經過（3，1）時，z取得最大值，3×3-2×1=7．
（2）由于z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
z=x²+y²-10y+25的幾何意義是點P（x，y）到點（0，5）的距離的平方，
所以z=x²+y²-10y+25的最小值為：原點到直線x-y+2=0的距離的平方：
d²=(

|-5+2|

2

)2，
即z=x²+y²-10y+25的最小值zmin=

9

2

．

點評：本題考查簡單的線性規劃的應用，表達式的幾何意義是解題的關鍵，考查計算能力．