Question

如圖，已知圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B，過橢圓外一點（m，0）（ma）且傾斜角為

5

6

π的直線l交橢圓于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若

FC

•

FD

＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對于圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經(jīng)過點F，B，分別令y=0，x=0，即可解得F（2，0），B（0，

2

），可得c=2，b=

2

．再利用a²=b²+c²即可得到a．
（II）由題意得直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積即可得出．

解答：解：（1）∵圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經(jīng)過點F，B，分別令y=0，x=0，
解得F（2，0），B（0，

2

），
∴c=2，b=

2

．
∴a²=b²+c²=6．
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由題意得直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

消去y得2x²-2mx+m²-6=0，
由△=4m²-8（m²-6）＞0解得-2

3

＜m＜2

3

．
又m＞

6

，∴

6

＜m＜2

3

．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

．
y₁y₂=(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)=

1

3

[x1x2-m(x1+x2)+m2]
∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)．
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=

4

3

x1x2-

m+6

3

(x1+x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

．
∵

FC

•

FD

＜0，∴

2m(m-3)

3

＜0．
解得0＜m＜3，又

6

＜m＜2

3

．
∴

6

＜m＜3．

點評：本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．