Question

如圖。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中點。

（I）求證：A₁B∥平面AMC₁；
（II）求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A₁B₁上是否存在點N，使AN與MC₁成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）由線線平行證得線面平行 （II）（Ⅲ）.在棱上存在棱的中點，使與成角.

試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中，
是三角形的中位線，
所以∥,
又因平面，
所以∥平面. 
（Ⅱ）（法一）設直線與平面所成角為，
點到平面的距離為，不妨設，則，
因為,，
所以.                
因為，
所以,.
.
，
，.     
（法二）如圖以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸，以的長度為單位長度建立空間直角坐標系.

則,,,，,,.設直線與平面所成角為，平面的法向量為.則有,,，
令,得，
設直線與平面所成角為，
則.               
（Ⅲ）假設直線上存在點，使與成角為.
設，則，.
設其夾角為，
所以，
，
，或（舍去），
故.所以在棱上存在棱的中點，使與成角.
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，第一問此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，難度比較大，計算要仔細．